Kỳ vọng toán học, ký hiệu là $E(X)$ hoặc $\mu_X$, đóng vai trò là đại lượng cơ bản đo xu hướng trung tâm của một biến ngẫu nhiên. Nó đại diện cho giá trị trung bình dài hạn thu được qua các lần thử lặp lại. Về mặt vật lý, nó chính là điểm cân bằng (trọng tâm) của phân bố xác suất, được tính như tổng có trọng số theo xác suất của tất cả các kết quả khả dĩ.
Định nghĩa Chính thức
Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, chúng ta định nghĩa giá trị kỳ vọng dựa trên Hàm khối lượng xác suất (PMF):
Định nghĩa 3.1.1
Giả sử $X$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Giá trị kỳ vọng được xác định là:
$$E(X) = \sum_{x \in R^1} x P(X = x) = \sum_{x \in R^1} x p_X(x)$$
Định nghĩa 3.1.2
Nếu $X$ nhận các giá trị khác nhau $x_1, x_2, \dots$ với xác suất tương ứng là $p_i$, thì:
$$E(X) = \sum_i x_i p_i$$
Luật của Nhà Thống kê Vô thức (LOTUS)
Để tìm kỳ vọng của một biến đã biến đổi $g(X)$, chúng ta không cần phải tìm trước hàm mật độ của $g(X)$.
Định lý 3.1.1 (LOTUS)
Với bất kỳ hàm số nào $g$, giá trị kỳ vọng của $g(X)$ là tổng các giá trị hàm số được trọng số bởi xác suất ban đầu:
$E(g(X)) = \sum_{x} g(x) P(X=x)$
Tính chất Cốt lõi
- Tính tuyến tính (Định lý 3.1.2): $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. Điều này vẫn đúng ngay cả khi $X$ và $Y$ phụ thuộc lẫn nhau!
- Tính đơn điệu (Định lý 3.1.4): Nếu $X(s) \le Y(s)$ với mọi kết quả $s$, thì $E(X) \le E(Y)$.
- Độc lập (Định lý 3.1.3): Nếu $X$ và $Y$ độc lập, thì $E(XY) = E(X)E(Y)$.
Ví dụ 3.1.6: Biến chỉ thị
Với hàm chỉ thị $I_A$, trong đó $X=1$ nếu sự kiện $A$ xảy ra và $X=0$ ngược lại:
$E(I_A) = (1)P(A) + (0)P(A^c) = P(A)$